統計学の基礎と身近な事例をわかりやすく解説！

統計学と聞くと、難しそうなイメージがありますが、実は私たちの日常生活にも様々な場面で統計学が使われています。

統計学とは、データを分析して、その性質や傾向を数値で表す学問です。

この記事では、統計学の基本的な概念や種類、そして身近な事例を紹介していきます。

統計学を学ぶことで、データに対する理解や分析力が向上し、ビジネスや学習に役立つでしょう。

1.　統計学の種類と特徴
- ①記述統計と推測統計
- ②ベイズ統計と頻度主義統計
2.　統計学の身近な事例
おわりに

1.　統計学の種類と特徴

統計学とは、データを収集し、分析し、解釈し、予測するための科学的な方法論です。

統計学は様々な分野で応用されており、ビジネスや政策、医療や教育、科学や工学など、私たちの身の回りの多くの問題に関わっています。

しかし、統計学には一つの正しいやり方があるわけではありません。統計学には、データや確率に対する異なる考え方やアプローチがあります。

ここでは、統計学の主な種類と特徴について紹介します。

①記述統計と推測統計

統計学の基本的な分類として、記述統計と推測統計があります。記述統計とは、得られたデータの特徴や傾向を要約し、分かりやすく表現する方法です。

推測統計とは、得られたデータから、データの背景にある母集団や現象に関する情報を推測する方法です。

記述統計の例

記述統計の例として、以下のようなものがあります。

平均や中央値、最大値や最小値などの代表値
分散や標準偏差、四分位範囲などの散らばりの指標
相関係数や回帰分析などの関連性の指標
ヒストグラムや折れ線グラフ、円グラフなどのグラフや表

記述統計は、データの全体像を把握するために役立ちます。例えば、学生のテストの点数のデータがあったとします。このデータを記述統計で分析すると、

以下のようなことがわかります。

平均点は70点で、中央値は72点である。つまり、全体的には平均的な成績であるが、中央値の方がやや高いことから、低い点数を取った学生がいることがわかる。
分散は100で、標準偏差は10である。つまり、点数のばらつきはそれほど大きくなく、ほとんどの学生が平均点の周辺に集まっていることがわかる。
点数と勉強時間の相関係数は0.5である。つまり、点数と勉強時間には正の相関があり、勉強時間が長いほど点数が高くなる傾向があることがわかる。
ヒストグラムを作ると、点数の分布は正規分布に近い形になっており、60点台から80点台が多く、90点以上や50点以下は少ないことがわかる。

推測統計の例

推測統計の例として、以下のようなものがあります。

標本平均や標本分散などの統計量
信頼区間や信頼係数などの信頼性の指標
帰無仮説や対立仮説、有意水準やp値などの仮説検定の要素
ベイズ推定や最尤推定などのパラメータ推定の手法

推測統計は、データから母集団や現象に関する予測や判断を行うために役立ちます。例えば、ある商品の購入者の満足度について調査したデータがあったとします。

このデータを推測統計で分析すると、以下のようなことがわかります。

標本平均は4.2で、標本分散は0.8である。つまり、調査した購入者の満足度の平均は4.2で、ばらつきは0.8である。
信頼区間は[4.0, 4.4]で、信頼係数は0.95である。つまり、95%の確率で、母集団の満足度の平均は4.0から4.4の間にあると推測できる。
帰無仮説は「母集団の満足度の平均は4.0以下である」とし、対立仮説は「母集団の満足度の平均は4.0より大きい」とする。有意水準は0.05とすると、p値は0.01である。つまり、帰無仮説が正しいと仮定したときに、標本平均が4.2以上になる確率は1%である。これは有意水準より小さいので、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する。すなわち、母集団の満足度の平均は4.0より大きいと判断できる。
ベイズ推定を行うと、母集団の満足度の平均の事後分布は平均4.2、分散0.04の正規分布になる。つまり、事前情報を考慮した上で、母集団の満足度の平均は4.2であると推定できる。

②ベイズ統計と頻度主義統計

統計学のもう一つの重要な分類として、ベイズ統計と頻度主義統計があります。

ベイズ統計とは、確率を主観的な信念として捉え、事前分布とデータを組み合わせて事後分布を求める方法です。

頻度主義統計とは、確率を客観的な頻度として捉え、データからパラメータや仮説を推定や検定する方法です。

ベイズ統計の特徴

ベイズ統計の特徴として、以下のようなものがあります。

パラメータや仮説に確率を付与することができる。つまり、パラメータや仮説は確率変数として扱われる。
事前分布という、パラメータや仮説に対する事前の信念を表す分布を設定する必要がある。事前分布は主観的に決めることができるが、その選択には、データや目的に応じて慎重に行う必要があります。事前分布は、事後分布に影響を与えるだけでなく、ベイズ推定の結果に対する解釈や信頼性にも関わります。事前分布の選択には、以下のようなポイントがあります。
事前分布は、事前情報や背景知識を反映させるべきです。事前分布が事前情報と矛盾すると、事後分布が不適切になる可能性があります。例えば、コインの表裏の確率についてベイズ推定を行う場合、事前分布を0や1に偏らせると、事後分布も0や1に偏ります。これは、コインが公平であるという事前情報と矛盾します。
事前分布は、データの量や質に応じて調整するべきです。データが少ない場合や、データにノイズが多い場合、事前分布の影響が大きくなります。このとき、事前分布を無情報的にすると、事後分布が不安定になる可能性があります。逆に、データが多い場合や、データにノイズが少ない場合、事前分布の影響が小さくなります。このとき、事前分布を情報的にすると、事後分布が事前分布に引っ張られる可能性があります。
事前分布は、計算の容易さや効率性を考慮するべきです。事前分布が共役事前分布であれば、事後分布の計算が簡単になります。しかし、共役事前分布は、事前情報やデータに適合しない場合もあります。このとき、非共役事前分布を使う必要がありますが、事後分布の計算が複雑になります。このとき、マルコフ連鎖モンテカルロ法などの数値的な手法を使う必要があります。

以上のように、事前分布の選択は、ベイズ統計の重要なステップです。事前分布の選択には、様々なトレードオフがあります。

事前分布の選択には、自分の分析の目的やデータの特徴を理解し、適切なバランスをとることが必要です。

頻度主義統計の特徴

頻度主義統計の特徴として、以下のようなものがあります。

確率は、無限回の試行の極限として定義される客観的な頻度です。つまり、確率はデータから得られた事実に基づいて推定されます。
パラメータや仮説に確率を付与することはできません。つまり、パラメータや仮説は固定された真の値として扱われます。
信頼区間や仮説検定という、データからパラメータや仮説に関する推論を行う手法を用いることができます。信頼区間は、パラメータが含まれると信頼できる区間を表します。仮説検定は、帰無仮説と対立仮説という二つの仮説の間で、データの有意性に基づいて判断を行います。

頻度主義統計は、データから確率を導くという点で、古典的な確率の定義に近いです。

頻度主義統計は、客観性や再現性を重視するため、実験科学や社会調査などに広く用いられています。

しかし、頻度主義統計には、以下のような問題点もあります。

無限回の試行の極限という概念は、現実には実現できない場合が多く、理想化された仮定に基づいています。実際には、有限回の試行で近似的に確率を推定する必要がありますが、その際には様々な誤差やバイアスが生じる可能性があります。
パラメータや仮説に確率を付与することができないため、不確実性や主観性を考慮することができません。例えば、パラメータの推定値があるとき、その推定値がどれだけ信頼できるか、また、他の推定値と比較してどれだけ優れているかということを確率的に表現することができません。
信頼区間や仮説検定という手法は、しばしば誤解や誤用されることがあります。例えば、信頼区間は、パラメータが含まれる確率を表すものではなく、同じ方法で繰り返し計算したときにパラメータを含む割合を表すものです。また、仮説検定は、帰無仮説が正しいと仮定したときにデータが起こる確率を表すものであり、帰無仮説が正しい確率を表すものではありません。

頻度主義とベイズ統計の比較

頻度主義とベイズ統計は、確率やデータに対する異なる考え方を持っています。

それぞれの長所や短所を比較してみましょう。

頻度主義の長所と短所

頻度主義の長所として、以下のようなものがあります。

客観的で再現性が高い。データから確率を推定するため、主観的な要素が少なく、同じデータに対して同じ結果が得られます。
理論的に確立されている。頻度主義の統計手法は、数学的に厳密な理論に基づいており、様々な分野で検証されています。
計算が容易で効率的である。頻度主義の統計手法は、一般的に解析的に解くことができるか、近似的に解くことができます。また、コンピュータの計算能力に依存することが少ないです。

頻度主義の短所として、以下のようなものがあります。

不確実性や主観性を考慮できない。頻度主義では、パラメータや仮説に確率を付与することができないため、不確実性や主観性を表現することができません。例えば、パラメータの推定値がどれだけ信頼できるか、また、他の推定値と比較してどれだけ優れているかということを確率的に表現することができません。
誤解や誤用されやすい。頻度主義の統計手法は、しばしば誤解や誤用されることがあります。例えば、信頼区間は、パラメータが含まれる確率を表すものではなく、同じ方法で繰り返し計算したときにパラメータを含む割合を表すものです。また、仮説検定は、帰無仮説が正しいと仮定したときにデータが起こる確率を表すものであり、帰無仮説が正しい確率を表すものではありません。
データの量や質に依存する。頻度主義では、データの量や質によって推定や検定の結果が大きく変わることがあります。例えば、データが少ない場合や、データにノイズが多い場合、推定や検定の精度が低くなります。また、データが多い場合や、データにノイズが少ない場合、推定や検定の結果が過剰に信頼されることがあります。

ベイズ統計の長所と短所

ベイズ統計の長所として、以下のようなものがあります。

不確実性や主観性を考慮できる。ベイズ統計では、パラメータや仮説に確率を付与することができるため、不確実性や主観性を表現することができます。例えば、パラメータの推定値がどれだけ信頼できるか、また、他の推定値と比較してどれだけ優れているかということを確率的に表現することができます。
柔軟で複雑なモデリングが可能である。ベイズ統計では、事前分布や事後分布を自由に設定することができるため、様々な状況や目的に合わせたモデリングが可能です。また、複雑なモデルや階層的なモデルも扱うことができます。
データの量や質に対応できる。ベイズ統計では、事前分布とデータを組み合わせて事後分布を求めるため、データの量や質に応じて事前分布を調整することができます。例えば、データが少ない場合や、データにノイズが多い場合、事前分布を情報的にすることで、事後分布の精度を高めることができます。逆に、データが多い場合や、データにノイズが少ない場合、事前分布を無情報的にすることで、事後分布をデータに近づけることができます。

ベイズ統計の短所として、以下のようなものがあります。

主観的で再現性が低い。ベイズ統計では、事前分布を主観的に決めることができるため、主観的な要素が多くなります。また、同じデータに対しても、事前分布の選択によって事後分布が変わることがあります。
理論的に未成熟である。ベイズ統計は、数学的に厳密な理論に基づいているとは言えない場合があります。また、様々な分野で検証されているとは言えない場合があります。
計算が困難で非効率的である。ベイズ統計では、事後分布の計算が一般的に解析的に解くことができないか、近似的に解くことができません。また、コンピュータの計算能力に依存することが多いです。

ベイズ統計と頻度主義統計の使い分け

ベイズ統計と頻度主義統計は、確率やデータに対する異なる考え方を持っています。それぞれに長所や短所があり、どちらが良いという一概な答えはありません。

しかし、一般的に言えることとして、以下のようなポイントがあります。

ベイズ統計は、不確実性や主観性を考慮できるため、データが少ない場合や、事前情報や背景知識がある場合に有利です。また、柔軟で複雑なモデリングが可能であるため、現実の問題に対応できます。
頻度主義統計は、客観的で再現性が高いため、データが多い場合や、事前情報や背景知識がない場合に有利です。また、理論的に確立されており、計算が容易で効率的であるため、実験科学や社会調査などに広く用いられています。

ベイズ統計と頻度主義統計の使い分けには、以下のような質問が参考になります。

データの量や質はどの程度か？データが少ない場合や、データにノイズが多い場合は、ベイズ統計が適しています。データが多い場合や、データにノイズが少ない場合は、頻度主義統計が適しています。
事前情報や背景知識はどの程度あるか？事前情報や背景知識がある場合は、ベイズ統計が適しています。事前情報や背景知識がない場合は、頻度主義統計が適しています。
パラメータや仮説に確率を付与したいか？パラメータや仮説に確率を付与したい場合は、ベイズ統計が適しています。パラメータや仮説に確率を付与したくない場合は、頻度主義統計が適しています。
複雑なモデルや階層的なモデルを扱いたいか？複雑なモデルや階層的なモデルを扱いたい場合は、ベイズ統計が適しています。単純なモデルや平坦なモデルを扱いたい場合は、頻度主義統計が適しています。
計算の容易さや効率性を重視するか？計算の容易さや効率性を重視する場合は、頻度主義統計が適しています。計算の容易さや効率性をあまり気にしない場合は、ベイズ統計が適しています。

以上のように、ベイズ統計と頻度主義統計は、それぞれにメリットやデメリットがあります。

自分の分析の目的やデータの特徴を理解し、適切な統計手法を選択することが重要です。

2.　統計学の身近な事例

統計学は私たちの日常生活に密接に関わっており、様々な場面で活用されています。

統計学は、データを収集・分析・解釈するための科学で、データから有用な情報を得たり、データに基づいた判断や予測を行ったりすることができます。

ここでは、統計学の身近な事例を5つ紹介します。

①学力テストの分析

学力テストの分析は、統計学の代表的な応用例です。学力テストの結果は、各教科や合計点の平均値や偏差値、標準偏差などの統計量でまとめられます。

これらの統計量は、データの代表値や散らばり具合を示す指標で、データの全体的な傾向や特徴を把握するのに役立ちます。

例えば、平均値はデータの中心的な位置を示し、偏差値はデータの平均値からのズレを示します。標準偏差はデータの散らばり具合を示し、小さいほどデータが平均値に集まっていることを意味します。

学力テストの結果を分析することで、以下のようなことができます。

テストを受けた学生は、自分の点数や偏差値を見ることで、自分の学力が全体と比べてどの程度の水準にあるかを確認できます。また、自分の強みや弱みを把握し、今後の学習計画を立てることもできます。
テストを実施した教師や学校は、テストの平均点や点数分布、教科別の得点率などを見ることで、テストの難易度や各生徒の学力レベルを評価できます。また、テストの結果をもとに、次回のテストの内容や難易度の調整や、授業の進度や方法の改善などを行うこともできます。
テストの主催者や教育機関は、テストの結果を地域や学校、学年などで比較することで、学力の格差や傾向を分析できます。また、テストの結果と他の要因との関係を調べることで、学力に影響を与える要因を特定したり、学力向上のための施策を立案したりすることもできます。

②野球選手の評価

野球は、統計学が活用されているスポーツの一つです。

野球では、選手やチームの成績や能力を評価するために、様々な統計データが収集・分析されています。

例えば、ピッチャーの防御率や奪三振率、バッターの打率や本塁打数、守備の失策数や守備率などがあります。

これらの統計データは、選手やチームの強みや弱みを客観的に示す指標で、選手の評価や契約、チームの戦略や編成などに影響を与えます。

野球の統計データを分析することで、以下のようなことができます。

選手は、自分の統計データを見ることで、自分の能力や成績を客観的に把握できます。また、他の選手との比較や自分の目標設定にも役立ちます。
チームは、自分のチームや対戦相手のチームの統計データを見ることで、チームの強みや弱みを分析できます。また、各選手の統計データを見ることで、適切な起用や交代、オーダーなどの戦略を立てることもできます。
ファンは、自分が応援する選手やチームの統計データを見ることで、選手やチームの状況や動向を知ることができます。また、統計データをもとに、選手やチームの今後の展望や予想を楽しむこともできます。

③マーケティングの調査

マーケティングの調査は、統計学が欠かせない分野です。

マーケティングの調査では、消費者のニーズや嗜好、購買行動などを把握するために、様々なデータを収集・分析します。

例えば、アンケートやインタビュー、実験や観察などの方法でデータを収集し、平均値や分散、相関係数や回帰分析などの方法でデータを分析します。

これらのデータ分析の結果は、商品やサービスの開発や改善、価格設定や販売促進、広告や宣伝などのマーケティング戦略に活用されます。

マーケティングの調査を行うことで、以下のようなことができます。

企業は、消費者のニーズや嗜好、購買行動などをデータに基づいて把握できます。また、消費者の属性やセグメント、満足度やロイヤルティなどを分析できます。
企業は、自社の商品やサービスの強みや弱み、競合他社との差別化要因、市場の動向や機会などをデータに基づいて評価できます。
企業は、消費者のニーズや嗜好、購買行動などに応じて、商品やサービスの開発や改善、価格設定や販売促進、広告や宣伝などのマーケティング戦略を立案・実施できます。

④天気予報の予測

天気予報の予測は、統計学が重要な役割を果たしている分野です。

天気予報の予測では、気象観測データや気象衛星画像などのデータを収集・分析し、気圧や温度、湿度、風向風速などの気象要素の現在の状態や将来の変化を予測します。

例えば、気象庁は、気象観測データをもとに、数値予報モデルという、気象現象を数学的に表現したモデルを用いて、天気予報の予測を行っています。

数値予報モデルでは、気象要素の空間的・時間的な分布や変化を方程式で表し、コンピューターで計算します。これらの計算の結果は、予想天気図や降水量予測などの形で天気予報として発表されます。

天気予報の予測を行うことで、以下のようなことができます。

一般の人は、天気予報を見ることで、自分の住む地域や行きたい場所の天気や気温などを知ることができます。また、天気予報をもとに、服装や行動計画などを決めることもできます。
農業や漁業などの天候に左右される産業は、天気予報を見ることで、作物や魚の生育や収穫のタイミングなどを判断できます。また、天気予報をもとに、災害や事故の防止や対策などを行うこともできます。
航空や海運などの交通機関は、天気予報を見ることで、飛行や航行の安全や効率などを確保できます。また、天気予報をもとに、運行やスケジュールの調整や変更などを行うこともできます。

以上が、統計学の身近な事例の紹介でした。

統計学は、データから有用な情報を得たり、データに基づいた判断や予測を行ったりするための科学です。統計学を学ぶことで、様々な分野でデータを活用する力を高めることができます。

統計学に興味がある方は、ぜひ挑戦してみてください。